Prawo Benforda


Kto by pomyślał, że liczby jakie nas otaczają, np. rachunki, powierzchnie rzek, liczby głosów oddanych w wyborach, czy liczby podawane w gazetach,  mają cechy wspólne. Czy mają coś wspólnego kwoty które płacimy Ty, ja, Cezary Pazura, czy Pani Kasia z księgowości a powierzchnie rzek czy kontynentów?

Ano mają!

Dla przykładu weźmy wszystkie, na prawdę wszystkie od najmniejszych do największych, kwoty na jakie wykonane były transakcje w Polsce przez miesiąc. Chociaż wiemy, że Polacy kombinują jak mogą jeśli chodzi o pieniądze ale nie wierzę, że nasz naród jest na tyle zdolny żeby przekłamać taką ilość danych 🙂 Gdy na początku przyjrzymy się tej dużej liście kwot to nic w oczy nam się nie rzuci. No może poza paroma dużymi kwotami, które chcielibyśmy widzieć jako wpływy na naszym koncie bankowym 🙂 Istnieją jednak ludzie, którzy na takie dane patrzą w trochę inny sposób

Dwóch pewnych jegomościów Simon Newcomb (1881) i Frank Benford (1938) to zauważyli zależność między cyframi znajdującymi się na pierwszym miejscu w liczbach.

Przebywając w bibliotece United States Naval Observatory, Newcomb zauważył, że strony tablic logarytmicznych są brudniejsze na początku i coraz czystsze na dalszych kartkach. Wywnioskował, że korzystający z tablic logarytmicznych częściej szukają liczb rozpoczynających się od niższych cyfr – te znajdują się na początku tablic. Opublikował swoje odkrycie na stronach American Journal of Mathematics lecz nie spotkało się ono z entuzjazmem i zostało zapomniane na 57 lat.

W 1938 roku Frank Benford nie zdając sobie sprawy z istnienia pracy Newcomba, dokonał tego samego odkrycia na podstawie stanu czystości tablic logarytmicznych. Zafascynowany tym zjawiskiem Benford zaczął sprawdzać, czy jego teoria znajduje również w innych zbiorach danych m.in. w powierzchniach rzek, liczbach drukowanych w gazetach, czy nawet cenach. Wyniki swoich badań przedstawił w artykule wydrukowanym w Proceedings of the American Philosophical Society

Prawo Benforda

W ten sposób świat dowiedział się o niezwykłej prawidłowości, która obecnie nosi nazwę prawa Benforda, rozkładu Benforda lub prawa pierwszych ( znaczących ) cyfr.

Dyskretny rozkład Benforda opisany jest zależnością

gdzie x oznacza pierwszą znaczącą cyfrę, natomiast P(x) oznacza prawdopodobieństwo, z jakim cyfra x będzie na najbardziej znaczącej pozycji w cyfrze.

Przybliżone prawdopodobieństwo poszczególnych cyfr na najbardziej znaczącej pozycji przedstawia poniższa tablea.

           x  1  2  3  4  5  6  7  8  9
   P(x) [%] 30,1 17,61 12,49 9,69 7,92 6,69 5,80 5,12 4,58

Czy ta zależność jest przydatna? Jak najbardziej. Rozkład Benforda jest stosowany do sprawdzania poprawności danych liczbowych, zeznań podatkowych bądź defraudacji, gdyż ludzie wpisując liczby tak, żeby wydawały się przypadkowe, nie są świadomi, że pewne cyfry występują częściej na pierwszej pozycji.

Czy to działa?

Wiodącym przykładem wykorzystania jest defraudacja Jamesa Nelsona, który  w 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki.

  • oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły
  • większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów.
  • wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot.

Dlatego jeśli już ktoś z was będzie robił oszustwa finansowe niech to robi z głową. Test na prawo Benforda jest jednym z pierwszych testów przeprowadzanych podczas wykrywania nadużyć finansowych!

Reklamy

2 thoughts on “Prawo Benforda

Skomentuj

Wprowadź swoje dane lub kliknij jedną z tych ikon, aby się zalogować:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Facebooku

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Wyloguj / Zmień )

Zdjęcie na Google+

Komentujesz korzystając z konta Google+. Wyloguj / Zmień )

Connecting to %s